Cho tam giác ABC vuông tại A

Để chứng minh các phần a), b), và c) của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết:

**a) Chứng minh tứ giác ADBF là hình chữ nhật.**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB > AC. Kẻ đường cao AD từ A xuống cạnh BC.

- Từ tính chất của hình vuông, chúng ta có:
- AD ⊥ BC (AD là đường cao, điểm D thuộc BC).
- E là trung điểm của AB.

- Gọi F là điểm trên tia DE sao cho \( FE = DE \).
- Xét hai đoạn AD và EF:
- Do AD ⊥ BC, và DE là một đoạn thẳng kéo dài từ D đến E theo phương thẳng đứng (trên tía DE từ D đến E).
- Vì DE là một đoạn thẳng và FE = DE, nên EF cũng cùng phương và song song với AD.

Từ đó, ta có thể thấy rằng:
- \( \angle ADB = 90^\circ \)
- \( \angle AFB = 90^\circ \)

Do đó, tứ giác ADBF có bốn góc vuông, và vì vậy tứ giác ADBF là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh AGDF là hình bình hành.**

- Ta đã chứng minh được tứ giác ADBF là hình chữ nhật. Suy ra:
- \( AB \parallel DF \) (do hai cạnh đối diện của hình chữ nhật song song với nhau).
- \( AD = BF \) (cạnh góc đối diện của hình chữ nhật cũng bằng nhau).

- Tiếp tục, kẻ điểm G trên tia DB sao cho \( DG = DB \):
- Từ đó, ta có \( AG = AD + DG = AD + DB = AB \) (vì AD = DB).

- Đối với hình bình hành, các cạnh đối diện tuần tự song song và bằng nhau.
- Ta có:
- \( AG \parallel DF \) và \( AG = DF \)
- \( AD \parallel GF \) và \( AD = GF \)

Do đó, AGDF là hình bình hành nhờ vào hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

**c) Chứng minh DI = 2IK.**

- Gọi K là trung điểm của AG. Do đó, ta có:
- \( AK = KG \)

- GF cắt KD tại I. Bởi vì G là điểm nằm trên tia DB, ta có thể sử dụng định nghĩa của trung điểm K để viết lại một số hệ thức:

- Gọi \( DI = x \) và \( IK = y \), theo định nghĩa trung điểm, ta có:
- \( DK = DI + IK = DI + DI = 2DI \) (vì K là trung điểm của AG, tức K chia AG thành hai đoạn bằng nhau).

Tiếp theo, do ba điểm D - I - K thẳng hàng và trung điểm, ta có:
- \( DI = 2IK \).

Do đó, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.