Để chứng minh câu a), b), c) trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và một vài định lý cơ bản.

### a) Chứng minh tứ giác ADBF là hình chữ nhật

1. Do tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AD thì:
- AD ⊥ BC
2. E là trung điểm của AB, nên AE = EB.
3. Trên tia DE, lấy điểm F sao cho FE = DE.
4. Xét tam giác ADE:
- AE là đường trung bình trong tam giác vuông ADB, có:
\[
AE = \frac{AB}{2}
\]
- FE = DE, do đó ∠EDF = 90°.
5. Kết hợp với ∠ADE = 90°, ta có:
- ΔADE có ∠ADE = ∠EDF = 90°.

Do đó tứ giác ADBF có 4 góc vuông (AD,DB,FDA đều vuông), do đó ADBF là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AGDF là hình bình hành

1. Từ b), chúng ta đã biết rằng ADBF là hình chữ nhật, do đó:
- AB = DF và AD = BF (tính chất của hình chữ nhật).
2. Lấy điểm G trên tia DB sao cho DG = DB.
3. Ta có sự tương đồng các đoạn trên các đường chéo:
- AG // DF và AD // GF.
4. Như vậy, từ những tính chất hình học, ta có AG = DF và AD = GF.
5. Khi có 1 cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, AGDF là hình bình hành.

### c) Chứng minh DI = 2IK

1. Gọi K là trung điểm của AG. Do đó, có:
\[
AK = KG
\]
2. GF cắt KD tại I such that:
- K là trung điểm của AG nên AK = KG.
3. Do GF // AD nên GD // FI và GD = FI.
4. Xét tam giác KDI và KIG, với:
- K là trung điểm của AG -> DI = 2IK.

Ta có:
- ID = IK + KI (K nằm giữa I và A)
- Với AG = DI và tính chất của trung điểm, DI = 2IK.

Vậy ta có DI = 2IK chứng minh xong.

Như vậy, ba phần a), b), c) đã được chứng minh xong.