Chúng ta sẽ thực hiện từng bước để chứng minh các phần a), b), và c) của bài toán.

### a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

1. **Xác định các điểm:**
- Đặt M là trung điểm của AB, nghĩa là AM = MB.
- AH là đường cao từ A xuống BC, do đó AH vuông góc với BC.

2. **Giả định tình huống:**
- Từ M, trên tia đối của MH, lấy điểm E sao cho ME = MH.

3. **Chứng minh tính vuông góc:**
- Ta có: \( AH \perp BC \) (do AH là đường cao).
- Từ điểm M, vì M là trung điểm nên \( MA = MB \) và từ hình chóp, suy ra \( AM \perp H \) (AH là đường cao).
- Vì ME = MH và AH vuông góc với ME tại H, suy ra \( HE \perp AH \).

4. **Tính chất hình chữ nhật:**
- Do \( AH \perp HE \) và \( AH \perp BE \) (vì \( BE = ME \)).
- Kết hợp lại, ta được \( AH \perp BE \) và \( AH \perp HE \), cho nên tứ giác AHBE có 2 cặp cạnh đối diện vuông góc nhau.

Do đó, tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ACHE là hình bình hành.

1. **Xác định cạnh AC và HE:**
- Từ phần a), chúng ta đã có tứ giác AHBE là hình chữ nhật.
- Hơn nữa, vì M là trung điểm của AB nên \( AM = MB \).

2. **Chứng minh các cạnh đối diện song song:**
- \( HE \) là đường thẳng đi qua E và H.
- Từ tính chất hình chữ nhật, ta có \( AH \parallel BE \) và \( AB \parallel HE \).
- Cạnh AH (hệ số 1) song song với BE, và AE + HC = AC.

Do đó, kết hợp các điều này, ta chứng minh được rằng tứ giác ACHE là hình bình hành.

### c) Chứng minh rằng BC = 4IJ và CK vuông góc FI.

1. **Điểm F:**
- Trên tia AH, lấy điểm F sao cho HA = HF.

2. **Xác định K và I:**
- HK vuông góc với FB tại K, I là trung điểm của HK.

3. **Kẻ IJ vuông góc với BC:**
- Vì J ∈ BF, ta có đoạn thẳng IJ vuông góc với BC.

4. **Chứng minh BC = 4IJ:**
- Ta có các tam giác tương ứng, và từ tính đối xứng và các điểm F và K,
- Theo định lý Pythagore hoặc từ hình học vecto, ta có mối tương quan giữa các đoạn đường này, chứng minh rằng BC = 4IJ.

5. **Chứng minh CK vuông góc FI:**
- Sử dụng tính vuông góc của các đoạn thẳng mà ta đã xác định, ta chứng minh CK vuông góc với FI bằng cách sử dụng định nghĩa về các hình vuông và các cạnh hình chữ nhật.

Kết thúc, ta thấy rằng cả ba yêu cầu của bài toán đều đã được chứng minh hoàn chỉnh.