1 + 2 + 3 + ... + bc = abc

Viết theo cấu tạo số ta có: 1 + 2 + 3 + ... + bc = a00 + bc hay 1 + 2 + 3 + ... + (bc - 1) = a x 100

Đây là tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến (bc - 1) nên có (bc - 1) số hạng. Tổng của dãy là:

( 1 + bc - 1) x (bc - 1 ) : 2 = a x 100

(bc - 1) x bc = a x 200

Vì (bc - 1 ) x bc là tích của hai số tự nhiên liên tiếp có 2 chữ số nên ta phân tích a x 200 thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số. Ta thấy:

a x 200 = a x 1 x 200 = a x 2 x 100 = a x 4 x 50 = a x 5 x 40 = a x 8 x 25.

Vì a là chữ số nên a chỉ có thể từ 0 đến 9.

a x 1 x 200 = a x 2 x 100 vì 100 và 200 là số có 3 chữ số nên ta loại.

Ta xét các trường hợp a x 4 x 50 ; a x 5 x 40 và a x 8 x 25 thì chỉ có a = 3 cho ta 3 x 8 x 25 = 24 x 25 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp có 2 chữ số. Vậy a = 3 và bc = 25.

Suy ra số abc = 325.