Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 50 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

a.(4x -5)² – 6(4x -5) +8 =0

b.(x² +3x -1)² +2(x² +3x -1) -8 =0

c. (2x² +x -2)² +10x² +5x -16 =0

d.(x² -3x +4)(x² -3x +2) =3

Lời giải:

a) Đặt m =4x -5

Ta có: (4x -5)²– 6(4x -5) +8 =0 ⇔ m² -6m +8 =0

Δ’ = (-3)² -1.8 =9 -8=1 > 0

Δ' =1 =1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁ =9/4 ,x₂ =7/4

b) Đặt m = x² +3x -1

Ta có: (x² +3x -1)² +2(x² +3x -1) -8 =0 ⇔ m² +2m -8 =0

Δ’ = 12 -1.(-8) =1 +8 =9 > 0

√Δ' =√9 =3

m₁ = -1 +31 =2 ; m₂ = -1 -31 =-4

Với m = 2 thì : x² +3x - 1 = 2 ⇔ x² + 3x - 3 = 0

Δ’ = 32 -4.1.(-3 )=9 +12=21 > 0

√Δ =√21

Với m = -4 ta có: x² +3x -1 = -4 ⇔ x² +3x +3 = 0

Δ = 3² -4.1.3=9 -12 = -3 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

c) Đặt m = 2x² +x -2

Ta có: (2x² +x -2)²+10x² +5x -16 =0

⇔ (2x² +x -2)²+5(2x² +x -2) -6 =0

⇔ m² +5m -6 =0

Phương trình m² +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng

a + b + c = 0

Suy ra : m₁ =1 ,m₂ =-6

m₁ =1 ta có: 2x² +x -2 =1 ⇔ 2x² +x -3=0

Phương trình 2x² +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

Suy ra: x₁ =1 ,x₂ =-3/2

Với m=-6 ta có: 2x² +x -2 = -6 ⇔ 2x² +x +4 =0

Δ = 1² -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0 . Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x₁ =1 ,x₂ =-32

d) Đặt m= x² -3x +2

Ta có: (x² -3x +4)(x² -3x +2) =3

⇔ [(x² -3x +2 +2)(x² -3x +2) -3 =0

⇔ (x² -3x +2)² +2(x² -3x +2) -3 =0

⇔ m² +2m -3 =0

Phương trình m² +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

suy ra : m₁ =1 ,m₂ =-3

Với m₁ =1 ta có: x² -3x +2 =1 ⇔ x² -3x +1=0

Δ = (-3)² -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0

√Δ = √5

Với m₂ =-3 ta có: x² -3x +2 =-3 ⇔ x² -3x +5=0

Δ = (-3)² -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0.Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

e. Đặt m= x/(x+1) .Điều kiện : x ≠ -1

⇔ 2m² -5m +3 =0

Phương trình 2m² -5m +3 = 0 có hệ số a = 2, b = -5 , c = 3 nên có dạng

a +b + c = 0

suy ra : m₁ = 1 ,m₂ =3/2

Với m₁ =1 ta có: x/(x+1) =1 ⇔ x =x+1 ⇔ 0x =1 (vô nghiệm)

Với m = 3/2 ta có: x/(x+1) = 3/2 ⇔ 2x =3(x +1)

⇔ 2x =3x +3 ⇔ x =-3

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=-3

f. Đặt m = √(x -1) .Điều kiện : x ≥ 0

Ta có : x - √(x -1)-3 =0 ⇔ (x -1) -√(x -1) -2 =0

⇔ m² -m - 2 =0

Phương trình m² -m - 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1 , c = -2 nên có dạng

a – b + c = 0

Suy ra : m₁ = -1 (loại) , m₂ = -(-2)/1 = 2

Với m =2 ta có:√(x -1) =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=5