1)Chứng minh các nhận định sau với mọi n:
a)A(n)=n(n^2+1)(n^2+4) chia hết cho 5
b)Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
c)Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
d)Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kì(n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó luôn chia hết cho 6.
e)Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liến tiếp chia hết cho 9
f)Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24.
g)Các số có dạng n^4-4n^3-4n^2+16n với n chẵn lớn hơn 4 thì chia hết cho 384.
2)Chứng minh chia hết:
A=7^1+7^2+....+7^(4k) chia hết cho 400.
B=A=75(4^(1975)+4^(1974)+.....+4^2++1)+25 chia hết cho 4^(1976)
3)Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B với A=n^3+2n^2-3n+2,B=n^2-n
4)Các bài toán áp dụng dirichlet:
a)Trong một tam giác đều cạnh bằng 1(kể cả trên các cạnh), ta đặt 17 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng lớn hơn hoặc bằng 1/4.
b)Trong một cuộc giao lưu mỗi người đều bắt tay với ít nhất một người khác. Chứng minh rằng có ít nhất hai người có cùng số lần bắt tay.
c)Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm chữ số 6 chia hết cho 2003
d)Chứng minh rằng trong 52 số nguyên dương bất kì ta luôn tìm được hai số sao cho tổng hoặc hiệu của hai số đó chia hết cho 100.