Đề kiểm tra Giải tích 12 chương 4

Câu 14: Phương trình z² + 4z + 13 = 0 có các nghiệm là

A. 2 ±3i   B. 4 ± 6i   C. -4 ± 6i   D. -2 ± 3i

Câu 15: Phương trình z² + 6z + 13 = 0 có hai nghiệm là z₁, z₂ . Giá trị biểu thức T = |z₁|² + |z₂|² bằng:

A. 12    B. 10   C. 16   D. 20.

Câu 16: Cho A và B là các điểm biểu diễn các số phức z₁ = 1 + 2i và z₂ = 1 - 2i. Diện tích của tam giác OAB bằng

A. 1    B. 2   C. 4   D. 5/2

Câu 17: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂| = 1, |z₁ + z₂| = √13. Khi đó |z₁ - z₂|bằng:

A. 0    B. 1   C. 2   D. √3

Câu 18: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z− + i| = |1 + √3i| là

A. Đường tròn tâm I(1; 1) bán kính R = 2

B. Đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 4

C. Đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 2

D. Đường tròn tâm I(0; -1) bán kính R = 2

Câu 19: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 1 + i| ≤ 2 là

A. Đường tròn tâm I(1; 1) bán kính R = 2

B. Hình tròn tâm I(1; 1) bán kính R = 2

C. Đường tròn tâm I(-1; -1) bán kính R = 2

D. Hình tròn tâm I(-1; -1) bán kính R = 2

Câu 20: Phương trình z² - 2z + 2 = 0 có hai nghiệm z₁, z₂ . Giá trị biểu thức:

A. 2¹⁰⁰⁰   B. 2¹⁰⁰¹   C. 2²⁰⁰⁰   D. 2²⁰⁰¹

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 14:

Ta có: Δ' = 2² - 13 = -9 = 9i². Phương trình có hai nghiệm là: z_1,2 = -2 ± 3i

Câu 15:

Ta có: Δ' = 9 - 13 = -4 = 4i²

Phương trình có hai nghiệm z₁ = -3 - 4i, z₂ = - 3 + 4i

Câu 16:

Các điểm A(1; 2), B(1; -2) nằm trên đường thẳng d: x = 1 và đối xứng qua trục Ox. Gọi H là giao điểm của d với Ox.

Ta có : AB = 2HA = 2.y_A = 4, OH = 1

Câu 17:

Cách 1. Đặt z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i (a₁, a₂, b₁, b₂ ∈ R). Ta có

|z₁| = |z₂| = 1

|z₁ + z₂| = √3 => (a₁ + a₂)² + (b₁ + b₂)² = 3 => 2(a₁a₂ + b₁b₂) = 1

Do đó:

Cách 2. Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn của các số phức z₁ , z₂ và z₁ + z₂

Ta có OACB là hình bình hành. Vì |z₁| = |z₂| = 1 nên OA = OB = 1 . Suy ra OACB là hình thoi cạnh 1. Do ||z₁ + z₂| = √3 nên OC = √3 . Suy ra tam giác OAB đều. Từ đó ta có ||z₁ - z₂| = AB = 1

Câu 18:

Ta có: | 1 + √3i| = √(1 + 3) = 2. Đặt z = a + bi(a, b ∈R). Ta có:

|z− + i| = |1 + √3i| <=> |a + (1 - b)i| = 2 <=> a² + (1 - b)² = 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0 ;1), bán kính R = 2

Câu 19:

Đặt z = a + bi(a, b ∈R). Ta có :

|z + 1 + i| ≤ 2 <=> |a + 1 + (b + 1)i| ≤ (a + 1)² + (b + 1)² ≤ 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I(-1 ;-1), bán kính R = 2

Câu 20:

Xét phương trình z² - 2z + 2 = 0, ta có Δ' = 1² - 2 = -1 = i². Phương trình có hai nghiệm là : z_1,2 = 1 ± i. Ta có :

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i, (1 - i)² = 1 + 2i - i² = -2i

Do đó : (1 ± i)⁸ = 2³. Vậy T = z₁²⁰⁰⁰ + z₂²⁰⁰⁰ = (z₁⁸)²⁵⁰ + (z₂⁸)²⁵⁰ = 2.(2⁴)²⁵⁰ = 2¹⁰⁰¹