Luyện tập (trang 8-9)

Bài 8 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Chứng minh bất đẳng thức sau:

Lời giải:

+ Hàm số f(x) = x-sin⁡x liên tục trên nửa khoảng

[0;π/2) và có đạo hàm f’(x) = 1-cos⁡x>0 ∀x ∈(0;π/2)

Do đó hàm số đồng biến trên [0;π/2). Suy ra: f’(x) > f(0) ∀x ∈(0;π/2) hay x-sin⁡x>0,∀x ∈(0;π/2)

Hiển nhiên x >sin x, ∀x≥π/2 (do sin x ≤1)

Vậy x

sin⁡x với mọi x >0

+ Hàm số f(x) = x – sin x liên tục trên [-π/2;0] và có đạo hàm f’(x) = a- cos x > 0 ∀x ∈(-π/2;0). Do đó hàm số đồng biến trên (-π/2;0)

Hiển nhiên: x < sin x với mọi x≤-π/2 (vì sinx≥-1)

Vậy x < sin x với mọi x < 0

Cách 1. Hàm số g(x) = cos x – 1 + x²/2. Xác định trên R và có đạo hàm g’(x) = x – sin x

Chiều biến thiên của g(x) được thể hiện bảng sau:

Vậy g(x) > 0, ∀x ≠ 0

Cách 2. Xét g(x) = cos⁡x-1+x²/2 liên tục trên nửa khoảng [0; +∞] và có đạo hàm g’(x) = x – sin x. theo a, g’(x) >0 với mọi x> 0

Do đó hàm số g đồng biến trên [0; +∞)

Và ta có: g(x) > g(0), ∀x>0

Tức là cos x – 1 + x²/2>0 với mọi x > 0 (1)

Từ đó suy ra với mọi x < 0, ta có:

Từ (1) và (2), ta có g(x) > 0 ∀x ≠ 0 hay cos x > 1-x²/2,∀x ≠ 0

Xét h(x) = sin x – x + x²/6 xác định trên R và có đạo hàm h’(x) = cos x – 1 + x/2>0,∀x ≠ 0; h’() = 0 (theo b)

H(x) đồng biến trên R và ta có:

H(x) >h(0) với mọi x > 0 và sinh sinx<x-x²/6 với mọi x < 0