Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + 2y + z - 7 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2; 1), B(2; 5; 3). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

Đáp án đúng là: C

Gọi tâm I(x; y; z)

Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1; 2; 1), B(2; 5; 3) nên ta có:

IA = IB = R

Ta có:

+) R=IA=AH2+IH2

+) AB→=1;​ 3; 2

+) H32; 72; 2  là trung điểm của đoạn thẳng AB

+) IA = IB

⇔x−12+y−22+z−12=x−22+y−52+z−32

⇔x2+y2+z2−2x−4y−2z+6=x2+y2+z2−4x−10y−6z+38

Þ x² + y² + z² - 2x - 4y - 2z + 6 = x² + y² + z² - 4x - 10y - 6z + 38

Û 2x + 6y + 4z = 32

Û x + 3y + 2z = 16

Do I thuộc các mặt phẳng (P) và IA = IB = R nên ta có hệ phương trình

x+2y+z=7   x+3y+2z=16⇔y+z=9       x+2y+z=7

⇔y=9−z       x+2y+z=7⇔y=9−z x=z−11

Vậy suy ra I(z - 11; 9 - z; z)

Khi đó IA=z−122+7−z2+z−12

=z2−24z+144+z2−14z+49+z2−2z+1

=3z2−40z+194=3z2−2z3.203+4003+1823

=z3−2032+1823≥1823=5463

Vậy R đạt GTNN là 5463  khi và chỉ khi

⇔z3−203=0⇔z=203

Khi đó I−133; 73; 203.