Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}}\] lần lượt là M và m thì:

Đặt \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A{x^2} - 3Ax - 3A = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - A} \right){x^2} + \left( {4 - 3A} \right)x + 5 - 3A = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}\]

Phương trình (1) có nghiệm\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta }} \ge 0\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow {{\left( {4 - 3A} \right)}^2} - 4.\left( {1 - A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {4 - 4A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {20 - 12A - 20A + 12{A^2}} \right) \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow 16 - 24A + 9{A^2} - 20 + 12A + 20A - 12{A^2} \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow - 3{A^2} + 8A - 4 \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow 3{A^2} - 8A + 4 \le 0}\\{\, \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {3A - 2} \right) \le 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le A \le 2}\end{array}\]

+) \[A \ge \frac{2}{3} \Rightarrow Min\,A = \frac{2}{3}\]

\[A = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 15 = 2{x^2} + 6x + 6\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\]

+) \[A \le 2 \Rightarrow Max\,A = 2\]

\[A = 2 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = 2{x^2} + 6x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]

Vậy\[Min\,f\left( x \right) = Min\,A = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = - 1;Max\,f\left( x \right) = Max\,A = 2 \Leftrightarrow x = - 1\]

Khi đó, ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M = 2}\\{m = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

\[M + m = \frac{8}{3}\]⇒ Đáp án A sai.

\[Mm = \frac{4}{3} \Rightarrow \]Đáp án B  sai.

\[\frac{M}{m} = 3 \Rightarrow \]Đáp án C  sai.

\[M - m = \frac{4}{3} \Rightarrow \]Đáp ánD đúng.

Đáp án cần chọn là: D