Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên tập số thực \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f⁢(x2+3⁢x+1)=x+2. Tính \(I = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \).

Phương pháp giải:

- Nhân cả hai vế của phương trình \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\) với \(2x + 3\).

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế phương trình.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\)

\( \Rightarrow f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)\)

⇒∫01f⁢(x2+3⁢x+1)⁢(2⁢x+3)⁢?x⁢ =∫01(x+2)⁢(2⁢x+3)⁢?x

⇒∫01f⁢(x2+3⁢x+1)⁢(2⁢x+3)⁢?x⁢ =616

Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1 \Rightarrow dt = \left( {2x + 3} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 1 \Rightarrow t = 5}\end{array}} \right.\).

⇒∫01f⁢(x2+3⁢x+1)⁢(2⁢x+3)⁢?x⁢⁢ =∫15f⁢(t)⁢?t⁢⁢ =∫15f⁢(x)⁢?x.

Vậy ∫15f⁢(x)⁢?x⁢⁢ =616