Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\], gọi \[M\] là trung điểm của cạnh \[AA'\], biết rằng \[AB = 2a;\]\[BC = a\sqrt 7 \] và \[{\rm{AA}}' = 6a\]. Khoảng cách giữa \[{\rm{A'B}}\] và \[CM\] là:

Có \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 7{a^2} - 4{a^2} \Leftrightarrow AC = a\sqrt 3 \)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(A'B//\left( {MNC} \right)\) nên \(d\left( {A'B,CM} \right) = d\left( {A'B,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {B.\left( {CMN} \right)} \right)\) \( = d\left( {A,\left( {CMN} \right)} \right) = d.\)

Xét tứ diện \(AMNC\) có \(AM,AN,AC\) đôi một vuông góc nên

\(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{{9{a^2}}} \Leftrightarrow d = \frac{{\sqrt {13} }}.\)

Đáp án C