Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\log _2^2x - \left( {m + 1} \right){\log _2}x + 2m - 3 = 0\,\)có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {2\,;\,16} \right)\) ?

Lời giải

Đặt \(t = {\log _2}x\). Phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2m - 3 = 0\).

Vậy \(x \in \left( {2\,;\,16} \right) \Rightarrow t \in \left( {1\,;\,4} \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành: Phương trình \(f\left( t \right) = {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2m - 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {1\,;\,4} \right)\).

\(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = m\left( {t - 2} \right)\).

TH1: \(t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\). Khi đó: \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 1 = 0\,\,\left( {{\rm{VL}}} \right)\).

TH2: \(t - 2 \ne 0 \Leftrightarrow t \ne 2\). Khi đó: \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow m = \underbrace {\frac{{{t^2} - t - 3}}}_{g\left( t \right)}\).