Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \({y^{(n)}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = 2\sin (2x + \frac{\pi }{2}),y'' = {2^2}\sin (2x + 2\frac{\pi }{2})\), \(y''' = {2^3}\sin (2x + 3\frac{\pi }{2})\)

Bằng quy nạp ta chứng minh \({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{2})\)

Với \(n = 1 \Rightarrow y' = {2^1}\sin (2x + \frac{\pi }{2})\) đúng

Giả sử \({y^{(k)}} = {2^k}\sin (2x + k\frac{\pi }{2})\),

suy ra \({y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = {2^{k + 1}}\cos (2x + k\frac{\pi }{2}) = {2^{k + 1}}\sin \left( {2x + (k + 1)\frac{\pi }{2}} \right)\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.