Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x2+2y2+2xy=1 và hàm số f(t)=t4−t2+2. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q=fx+y+1x+2y−2 Tính M+m?

Ta có: x2+2y2+2xy=1⇔x+y2+y2=1

Đặt x+y=sinαy=cosαTa có Q=fx+y+1x+2y−2=fsinα+1sinα+cos α−2

Đặt t=sinα+1sinα+cos α−2 Ta có Q=fsinα+1sinα+cos α−2=ft

t=sinα+1sinα+cos α−2  α∈ℝ⇔tsinα+tcos α−2t=sinα+1⇔t−1sinα+t cos α=2t+1 (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm α thì t−12+t2≥2t+12

⇔t2−2t+1+t2≥4t2+4t+1⇔2t2+6t≤0⇔−3≤t≤0

Xét Q=ft=t4−t2+2 trên đoạn −3;0 có:

f'(t)=4t3−2t,f'(t)=0⇔t=0t=±12

Hàm số ft  liên tục trên −3;0 có f−3=74, f−12=74, f0=2

⇒min−3;0ft=74, max−3;0ft=74

Đáp án cần chọn là: C