Số hạng không chứa x trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\) (x ≠ 0) (theo chiều số mũ của x giảm dần) là số hạng thứ:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nhị thức Newton, ta có:

\(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\)

\( = {\left( {{x^3}} \right)^5} + 5.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2}\)\( + 10.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5.{x^3}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\)

\( = {x^{15}} - 5.{x^{12}}.\frac{1}{{{x^2}}} + 10.{x^9}.\frac{1}{{{x^4}}} - 10.{x^6}.\frac{1}{{{x^6}}} + 5.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}\)

\( = {x^{15}} - 5.{x^{10}} + 10.{x^5} - 10 + 5.\frac{1}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}\).

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.