Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2};\;f\left( 0 \right) = 1\] và \[f\left( 1 \right) = 2\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\] là:

Hướng dẫn giải

\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}dx} = \ln \left| {2x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + {C_1}\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + {C_2}\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_2} = 1\\{C_1} = 2\end{array} \right.\].

Suy ra \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + 2\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + 1\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\].

Do đó  \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = 3 + \ln 3 + \ln 5 = 3 + \ln 15\]

Chọn D.