Biết rằng ∫cos3x.sin3x+sin3x.cos3xdx=abcos4x+C với a,b∈ℤ,ab là phân số tối giản a<0,b>0, tính 2a + b

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức: cos3x=3cosx+cos3x4,sin3x=3sinx−sin3x4,sina+b=sinacosb+cosasinb

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫sinkxdx=−1kcoskx+C.

Cách giải:

Ta có:

∫cos3x.sin3x+sin3x.cos3xdx

=∫3cosx+cos3x4.sin3x+3sinx−sin3x4.cos3xdx

=14∫3sin3xcosx+sin3xcos3x+3sinxcos3x−sin3xcos3xdx

=34∫sin4xdx=−316cos4x+C

⇒a=−3,b=16. Vậy 2a+b=2.−3+16=10.

Chọn D.