Cho hàm số fx=sinx−m2+cosx−n2(m,n là các tham số nguyên). Có tất cả bao nhiêu bộ (m,n) sao cho minx∈ℝfx+maxx∈ℝfx=52?

Phương pháp:

- Khai triển hằng đẳng thức.

- Sử dụng: −a2+b2≤asinx+bcosx≤a2+b2, từ đó tìm minx∈ℝfx,maxx∈ℝfx.

- Giải phương trình tìm nghiệm nguyên m,n

Cách giải:

Ta có:

fx=sinx−m2+cosx−n2

fx=sin2x−2msinx+m2+cos2x−2ncosx+n2

fx=1−2msinx+ncosx+m2+n2

Ta có: −m2+n2≤msinx+ncosx≤m2+n2

⇒2m2+n2≥−2msinx+ncosx≥−2m2+n2

⇒1+2m2+n2≥1−2msinx+ncosx≥1−2m2+n2

⇒1+2m2+n2+m2+n2≥fx≥1−2m2+n2+m2+n2

⇒minx∈ℝfx=1−2m2+n2+m2+n2

maxx∈ℝfx=1+2m2+n2+m2+n2

Theo bài ra ta có:

⇔1−2m2+n2+m2+n2+1+2m2+n2+m2+n2=52

⇔2+2m2+2n2=52

⇔m2+n2=25

Vì m,n∈ℤ⇒m;n∈0;5;0;−5;5;0;−5;0;3;4;3;−4;−3;4;−3;−44;3;4;−3;−4;3;−4;−3.

Vậy có 12 bộ số m,n thỏa mãn.

Chọn D.