Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2x2+y2−1+log3(x2+y2+1)=3 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S=|x−y|+|x3−y3| là a6b với a, b là các số nguyên dương và phân số ab tối giản. Tính giá trị biểu thức T=2a+b .

Nhận xét hàm số  f(t)=2t−1+log3(t+1) đồng biến và f(2)=3 , từ đó

2x2+y2−1+log3(x2+y2+1)=3⇔x2+y2=2.

S=|x−y|+|x3−y3|=|x−y|(1+x2+y2+xy)

⇔S2=(x−y)2(3+xy)2=(2−2xy)(3+xy)2

Đặt t=xy  do |xy|≤x2+y22=1   nên t∈[−1;1] .

Xét hàm số g(t)=(2−2t)(3+t)2  trên [−1;1]  được maxt∈[−1;1]g(t)=g(−13)=51227  .

Do S>0  nên S2≤51227⇔S≤1669 .

Vậy T=34 .