Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α):x−my+z+6m+3=0 và (β):mx+y−mz+3m−8=0 ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng Δ. Gọi Δ'  là hình chiếu của Δ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng Δ'  luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P=10a2−b2+3c2.

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của Δ  theo m.

Mặt phẳng (α):x−my+z+6m−3z=0 có một vectơ pháp tuyến là 

 n1→=(1;−m;1) và mặt phẳng (β):mx+y−mz+3m−8=(α)∩(β)

n1→=(1;−m;1) và mặt phẳng (β):mx+y−mz có một vectơ pháp tuyến là

n2→=(m;1;−m). Ta có M−3m+4m−3;0;−3m−4m∈Δ=α∩β

Do đó  Δ có một vectơ chỉ phương là u→=n1→;n2→=m2−1;2m;m2+1

Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là n→=[u→;k→]=2m;1−m2;0

Phương trình mặt phẳng (P) là 2mx+1−m2y+6m2+6m−8=0

Vì I(a;b;c)∈(Oxy) nên I(a;b;0).

Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇒d(I;(P))=R

Tìm a và b

Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇒d(I;(P))=R

⇔2ma+1−m2b+6m2+6m−84m2+1−m22=R>0

⇔2m(a+3)+(6−b)m2+b−8m2+1=R>0

⇔2m(a+3)+(6−b)m2+b−8=R(m2+1)2m(a+3)+(6−b)m2+b−8=−R(m2+1)

⇔2(a+3)=06−b=Rb−8=RR>02(a+3)=06−b=−Rb−8=−RR>0⇔a=−3=06−b=b−8−R=6−b<0a=−36−b=b−8R=6−b>0

⇒a=−3b=7

Vậy I(−3;7;0), do đó P=10a2−b2+3c2=41

Chọn đáp án C