Tính thể tích khối chóp S.MNP biết \(SM = a\sqrt 3 \), \(\Delta MNP\) đều, \(\Delta SMN\) vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.

Đáp án B

Phương pháp:

+) Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow SI \bot \left( {MNP} \right)\)

+) Tính diện tích tam giác MNP.

+) \({V_{S.MNP}} = \frac{1}{3}SI.{S_{MNP}}\)

Cách giải:

\(\Delta SMN\) vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SI = \frac{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

\(MN = 2SI = 2.a\sqrt {\frac{3}{2}} = a\sqrt 6 \)

\(\Delta MNP\) đều \( \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{{M{N^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)

Thể tích khối chóp S.MNP là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{MNP}}.SI = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\frac{{\sqrt 3 a}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\)