Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2, thỏa mãn f0=3 và fx.f'x=cosx.1+f2x, ∀x∈0;π2. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn π6;π2.

Chọn ATừ giả thiết fx.f'x=cosx.1+f2x ⇒∫fx.f'x1+f2xdx=sinx+CĐặt t=1+f2x⇒t2=1+f2x⇒tdt=fxf'xdx.Thay vào ta được ∫dt=sinx+C⇒t=sinx+C⇒1+f2x=sinx+C.Do f0=3⇒C=2.Vậy 1+f2x=sinx+2⇒f2x=sin2x+4sinx+3⇒fx=sin2x+4sinx+3, vì hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2.Ta có π6≤x≤π2⇒12≤sinx≤1, xét hàm số gt=t2+4t+3 có hoành độ đỉnh t=−2 loại.Suy ra max12;1gt=g1=8, min12;1gt=g12=214.Suy ra maxπ6;π2fx=fπ2=22, minπ6;π2fx=gπ6=212.