Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có cạnh đáy bằng \[a\] và \[AB' \bot BC'\]. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải

Chọn C

Gọi \[I\]là trung điểm\[AB\]. Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên

\[AI \bot \left( {BB'C'C} \right) \Rightarrow AI \bot BC'\].

Lại có: \(AC' \bot BC'\) nên suy ra \(BC' \bot \left( {AIB'} \right) \Rightarrow BC' \bot B'I\)

Gọi \(H = B'I \cap BC'\)

Ta có \(\Delta BHI\) đồng dạng \(\Delta C'HB'\) \[ \Rightarrow \frac{{B'H}} = \frac{{B'C'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow B'H = 2HI \Rightarrow B'I = 3HI\]

Xét tam giác vuông \(B'BI\)có \(B{I^2} = HI.B'I = 3H{I^2} \Rightarrow HI = \sqrt {\frac{{B{I^2}}}{3}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(BB' = \sqrt {B'{I^2} - B{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(V = {S_{\Delta ABC}}.BB' = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\).