Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;3;4), C(3;5;-2). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vuông góc với AB, CD với D0; 2; 0.

Chọn DGọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trung trực của AB và BC.Mp trung trực của AB đi qua trung điểm I32;52; 32 của AB và nhận vectơ AB→=1; 1; 5 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình : 2x+2y+10z−23=0.Tương tự ta có phương trình mp trung trực của BC: 2x+4y−12z−9=0.Mặt khác K∈ABC. (ABC) đi qua A1; 2; −1 và có VTPT n→=AC→,AB→=16; −11; −1 với AB→=1; 1; 5, AC→=2; 3; −1 nên có phương trình: 16x−11y−z+5=0.Do đó toạ độ K là nghiệm của hệ phương trình : 2x+2y+10z−23=02x+4y−12z−9=016x−11y−z+5=0⇔x=52y=4z=1⇒K52; 4; 1Đường thẳng vuông góc với AB, CD nên có VTCP u→=AB→,CD→=17; −17; 0 với AB→=1; 1; 5, CD→=−3; −3; 2, . Vậy phương trình đường thẳng là: x=52+ty=4−tz=1.