Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{{{x^2}}}{4} - 2x + 2020\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Lời giải

Chọn A Ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{{{x^2}}}{4} - 2x + 2020 \Rightarrow g'\left( x \right) = - f'\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{x}{2} - 2\) Đặt \(t = 2 - \frac{x}{2} \Rightarrow x = 4 - 2t\) Suy ra \(g'\left( {4 - 2t} \right) = - f'\left( t \right) - t\) \(g'\left( {4 - 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - t\,\left( * \right)\) Phương trình (*) là phương trình trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(f'\) và đường thẳng \(y = - x\). Dựa vào đồ thị: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) Ta có bảng xét dấu của hàm \(g'\) \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;10} \right)\)nên nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;\,3} \right)\).