Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x?

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x

⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2

⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2

⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0. 

Đặt: t=x2+y2x(t>0), bất phương trình trở thành: log3(1+t)−log21+24t≤0 (1).

Xét hàm số f(t)=log3(1+t)−log21+24t có f'(t)=1(1+t)ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Ta có f(8)=log3(1+8)−log21+248=0

Từ đó suy ra: (1)⇔f(t)≤f(8)⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔(x−4)2+y2≤16.

Đếm các cặp giá trị nguyên của (x;y)

Ta có: (x−4)2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0

Với x=1,x=7⇒y={±2;±1;0} nên có 10 cặp.

Với x=2,x=6⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp.

Với x=3,x=5⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp.

Với x=4⇒y={±4;±3;±2;±1;0} nên có 9 cặp.

Với x=8⇒y=0 có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài.