Cho \(m,n\) là các số tự nhiên thỏa mãn \(4{m^3} + m = 12{n^3} + n\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Giải thích

Ta có \(4{m^3} + m = 12{n^3} + n \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {4{m^2} + 4mn + 4{n^2} + 1} \right) = 8{n^3}\)

Giả sử \(p\) là một ước nguyên tố chung của \(m - n\) và \(4{m^2} + 4mn + 4{n^2} + 1\).

Vì \(4{m^2} + 4mn + 4{n^2} + 1\) lẻ nên \(p\) là số lẻ.

Mà \(8{n^3} \vdots p\) nên suy ra \(n \vdots p\).

Mặt khác \(\left( {m - n} \right) \vdots p \Rightarrow m \vdots p\).

Mà \(4{m^2} + 4mn + 4{n^2} + 1\) cũng chia hết cho \(p\) nên \(1 \vdots p\), điều này vô lý.

Vậy \(\left( {m - n,4{m^2} + 4mn + 4{n^3} + 1} \right) = 1\).

Mà \(8{n^3} = {(2n)^3}\) nên \(m - n = {x^3}\) và \(4{m^2} + 4mn + 4{n^2} + 1 = {y^3}\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\) thỏa mãn \({x^3}.{y^3} = {(2n)^3}\).

Hay m - n là lập phương của một số nguyên.

 Chọn B