Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;-2;6),B(0;1;0) và mặt cầu (S): (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=25. Mặt phẳng (P): ax+by+cz-2=0 đi qua A và B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T=a+b+c

Đáp án A

Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B nên

3a-2b+6c-2=0b=2⇔a=2-2cb=2⇒(P): (2-2c)x+2y+cz=0

Khoảng cách từ tâm I (1;2;3) của (S) đến (P) là:

d(I,(P))=(2-2c)+2.2+c.3-2(2-2c)2+22+c2=c+45c2-8c+8

Khi đó bán kính của đường tròn giao tuyến là: 

r=25-(c+4)25c2-8c+8=124c2-208c+1845c2-8c+8

Để r đạt giá trị nhỏ nhất thì hàm số

f(t)=124t2-208t+1845t2-8t+8 trên [1;+∞) phải nhỏ nhất

Ta có: f'(t)=48t2+144t-192(5t²-8t+8)2,

f'(t)=0⇔

Khi đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1⇒c=1

Ta có: T=a+b+c=2-2c+2=4-c=3