Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A0;1;1,B3;0;−1,C0;21;−19 và mặt cầu S:x−12+y−12+z−11=1. Ma,b,c là điểm thuộc mặt cầu Ssao cho biểu thức T=3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c.

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả 3EA→+2EB→+EC→=0→   ⇒ E(1;4;−3). T=6ME2+3EA2+2EB2+EC2

T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất ⇔M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

IE→=(0;3;−4), EM→=(a−1;b−4;c+3)

IE→,ME→ cùng phương ⇔EM→=kIE→⇔a−1=0b−4=3kc+3=−4k⇔a=1b=3k+4c=−4k−3

M∈(S)⇒(3k+3)2+(−4k−4)2=1⇔k=−45k=−65

k=−45⇒M11;85;15⇒EM1=2085

k=−65⇒M21;25;95⇒EM2=6>EM1 (Loại)

Vậy M1;85;15