Cho a², b², c² là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC nên a, b, c > 0 \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{ac > 0}\\{bc > 0}\end{array}} \right.\) (1)

a², b², c² là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} - {c^2} > 0}\\{{b^2} + {c^2} - {a^2} > 0}\\{{a^2} + {c^2} - {b^2} > 0}\end{array}} \right.\) (2)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A}\\{{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}}\end{array}} \right.\)(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra cos A > 0 (vì bc > 0; b² + c² – a² > 0)

cos B > 0 (vì ac > 0; a² + c² – b² > 0); cos C > 0 (vì ab > 0; a² + b² – c² > 0).

Vì cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 \( \Rightarrow \widehat A,\,\,\,\widehat B,\,\,\,\widehat C\) là ba góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.