Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] và SO=a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng:

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này tới mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Đổi tính khoảng cách từ chân đường vuông góc với mặt phẳng, sử dụng công thức AA'∩(P)=M⇒d(A;(P))d(A';(P))=AMA'M.

- Dựng khoảng cách, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Ta có AB//CD⇒AB//(SCD)⊃SC⇒d(AB;SC)=d(AB;(SCD))=d(A;(SCD))

Mà AO∩(SCD)={C}⇒d(A;(SCD))d(O;(SCD))=ACOC=2\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\]

Gọi M là trung điểm của CD.

Vì OMlà đường trung bình của tam giác ACD⇒OM//AD⇒OM⊥CD và OM=12AD=a2.

Ta có: {CD⊥OMCD⊥SO⇒CD⊥(SOM).

Trong (SOM) kẻ OH⊥SM(H∈SM) ta có: {OH⊥SMOH⊥CD(CD⊥(SOM))⇒OH⊥(SCD).

⇒d(O;(SCD))=OH⇒d(AB;SC)=2OH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SOM\] ta có: OH=SO.OMSO2+OM2=a.a2a2+a24=a55.

Vậy d(AB;SC)=2OH=2a55.

Đáp án A.