Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ, hàm số y = f'(x) liên tục trên ℝ, hàm số y=f'x+2021 cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ a, b, c là các số nguyên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi m1 là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=gx=fx2−2x+m nghịch biến trên khoảng (1; 2); m2 là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=hx=fx2−4x+m đồng biến trên khoảng (1; 2). Khi đó m1+m2 bằng:

Phương pháp:

- Xác định khoảng của x ứng với f'x+2021≤0.

- Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (1; 2) nên g'x≤0 ∀x∈1;2.

- Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm m1.

- Tương tự với hàm số h(x) tìm m2.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f'x+2021≤0⇔a≤x+2021≤b⇒a−2021≤x≤b−2021

Xét hàm số y=gx=fx2−2x+m có g'x=2x−1.f'x2−2x+m

Vì y = g(x) nghịch biến trên khoảng (1; 2) nên

2x−1.f'x2−2x+m≤0 ∀x≤1;2

⇒f'x2−2x+m≤0 ∀x∈1;2

⇔a−2021≤x2−2x+m≤b−2021 ∀x∈1;2

Xét a−2021≤x2−2x+m ∀x∈1;2

⇒x2−2x+2021≥a−m

⇒min1;2x2−2x+2021≥a−m

Hàm số y=x2−2x+2021 đồng biến trên [1; 2] do đó min1;2x2−2x+2021=12−2.1+2021=2020

⇒2020≥a−m⇒m≥a−2020 1.

Tương tự x2−2x+m≤b−2021 ∀x∈1;2 ta có m≤b−2021 2

Từ (1) và (2) ta có a−2020≤m≤b−2021⇒m1=b−a.

Chứng minh tương tự với hàm h(x) ta có m2=b−a.

Vậy m1+m2=2b−2a.

Chọn D.