Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AB=2a,AC=a,\(AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{2},\widehat {BAC} = {120^0}\). Hình chiếu vuông góc của C′ lên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a?

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC có:

\[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120} \]

\[ = \sqrt {4{a^2} + {a^2} - 2.2a.a.\frac{{ - 1}}{2}} = a\sqrt 7 \Rightarrow CH = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\]

\[C'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow C'H \bot CH \Rightarrow {\rm{\Delta }}CC'H\] vuông tại H

\[ \Rightarrow C'H = \sqrt {C{C^{\prime 2}} - C{H^2}} = \sqrt {\frac{{10{a^2}}}{4} - \frac{{7{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin 120 = \frac{1}{2}.2a.a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]

Vậy\[{V_{ABC.A'B'C'}} = C'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: B