Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và \[A\prime A = A\prime B = A\prime C = a\sqrt {\frac{7}} \;\]. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Gọi H là tâm tam giác đều ABC . Vì\[A'A = A'B = A'C\] nên hình chóp\[A'.ABC\] là đều nên\[A'H \bot \left( {ABC} \right)\]

Gọi I là trung điểm của AB.

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên\[CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HI = \frac{1}{3}CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Tam giác A′AB  cân tại A′  nên\[A'I \bot AB \Rightarrow {\rm{\Delta }}A'AI\] vuông tại

\[I \Rightarrow A'I = \sqrt {A{A^{\prime 2}} - A{I^2}} = \sqrt {\frac{{7{a^2}}} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

\[A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot HI \Rightarrow {\rm{\Delta }}A'HI\] vuông tại

\[H \Rightarrow A'H = \sqrt {A'{I^2} - H{I^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} - \frac{{{a^2}}}} = \frac{a}{2}\]

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên\[{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]

Vậy\[{V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\]

Đáp án cần chọn là: B