Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\]. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

(S) có tâm\[I(1; - 2;3)\] và\[R = \sqrt {50} \]

Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox.

Suy ra\[M(1;0;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Ox}}) = {\rm{MI}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \ne R \Rightarrow \]loại B.

Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy.

Suy ra\[N(0; - 2;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Oy) = NI = \;}}\sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \ne R \Rightarrow \]loại C

Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz.

Suy ra \[P(0;0;3) \Rightarrow d(I,{\rm{Oz}}) = {\rm{PI}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \ne R \Rightarrow \] loại D

Đáp án cần chọn là: ACâu 8. Xét đường thẳng d có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)và mặt cầu (S) có phương trình  \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\]. Nhận xét nào sau đây đúng.

A.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB<2R

B.d không có điểm chung với (S)

C.d tiếp xúc với (S)

D.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB đạt GTLN.

Giải hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{{t^2} + {{(2t)}^2} = 4}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{5{t^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \pm \sqrt {\frac{4}{5}} }\\{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

Mặt khác (S) có tâm \[I(1;2;3) \in d\;\] nên d qua tâm của mặt cầu.

Do đó AB đạt GTLN.

Đáp án cần chọn là: D