Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 3 - t'}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:

Lấy\[{\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)\] và\[B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\].

Ta có:\[\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\]

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.(b - 2a) + 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\\{1.(b - 2a) - 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5a + b + 3 = 0}\\{ - a + 2b - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra \[{\rm{A}}\left( {2;1;4} \right);B\left( {2;1;0} \right)\] và\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)\]

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính\[R = \frac{2}\]

Ta có I(2;1;2) và \[R = \frac{2} = \frac{4}{2} = 2\]

 Vậy ta có\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]

Đáp án cần chọn là: C