Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên 0;+∞ thỏa mãn f(0) = 0, limx→0fxx=1 và f''x+f'x2+x2=1+2xf'x. Tính f(2)

Chọn B

Do limx→0fxx=1⇔limx→0fx−f0x−0=1⇔f'0=1.

Ta có: f''x+f'x2+x2=1+2xf'x⇔f'x−x2=−f''x−1, (1)

Đặt gx=f'x−x⇒g'x=f''x−1, nên (1) trở thành g2x=−g'x⇒g'xg2x=−1.

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được −1gx=−x+C⇒gx=1x−C⇒f'x=x+1x−C

Cho x=0⇒f'0=1−C⇒C=−1. Do đó f'x=x+1x+1⇒fx=x22+lnx+1+C1