ABC có P là trung điểm của cạnh AB
----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
x
Lời giải từ gia sư QANDA
Chứng minh
Từ giả thiết “trung tuyến" dẫn đến trung điểm, trung điểm dẫn đến song
song, song song có thể dẫn đến bình hành. Từ đó ta có ngay cách giải
câu a)
a) AABC có P là trung điểm của cạnh AB (P là chân đường trung tuyến
CP)
54% 16:07
N là trung điểm của cạnh AC (N là chân đường trung tuyến BN)
= PN là đường trung bình của AABC = PN # BC (Định lí: Đường
trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
PN/CF
= PNFC là hình
cạnh ấy) mà CF = BC nên
NF / PC (giả thiết)
bình hành (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có các cạnh đối song song là
hình bình hành)
b) Chứng minh BNFD là hình bình hành
Từ giả thiết: "qua F kẻ đường thẳng song song với BN"
“Qua B kẻ đường thẳng song song với CP” ta có ngay cách chứng
minh tứ giác BNFD là hình bình hành.
Tứ giác BNFD có:NF / BD (cùng song song với PC)
BN / DF (giả thiết)
= BNFD là hình bình hành (Theo dấu hiệu 1)
c) Chứng minh tứ giác PNCD là hình thang
Dựa vào giả thiết: "AM là trung tuyến ứng với cạnh BC
"CP là trung tuyến ứng với cạnh AB"
= P và M lần lượt là trung điểm của cạnh AB và cạnh BC của AABC
nên PM là đường trung bình của AABC (Theo định nghĩa đường
trung bình của tam giác) = PM # AC hay PD / NC = PNCD là
hình thang (Theo định nghĩa: Tứ giác có hai cạnh đối song song là
hình thang).
e) Điều kiện của AABC đế PNCD là hình thang cân
Hình thang PNCD là hình thang cân – PC = DN = CP = AM (vì
ND = AM)
→ AABC cân tại A (vì tam giác cân có trung tuyến ứng với hai cạnh
bên bằng nhau).
d) Chứng minh AM = DN
Muốn chứng minh AM = DN ta phải chứng minh ANDM là hình bình
hành. Muốn chứng minh được ANDM là hình bình hành ta chứng
minh AN / MD và AN = MD
MD / AC (vì PD và NC là hai cạnh đáy của hình thang PNCD)
Tứ giác PNPC là hình bình hành (chứng minh trên)
= PC / NF và PC = NF
Tử giác BNFD là hình bình hành (chứng minh trên)
= BD/NF và BD = NF
= PC / BD và PC = BD (cùng song song và bàng NF) = BPCD là
hình bình hành
(Theo dấu hiệu 3) = Đường chéo BC và đường chéo PD giao nhau tại
trung điểm M của mỗi đường = MP = MD. Mà PM # AC và
AC
PM = = AN (vì PM là đường trung bình của AABC) = MD // AN và
2
MD = AN (cùng bằng PM' = ANDM là hình bình hành (Theo dấu
hiệu 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình
, hành) = AM = ND (Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau)
x
Lời giải từ gia sư QANDA
Chứng minh
Từ giả thiết “trung tuyến" dẫn đến trung điểm, trung điểm dẫn đến song
song, song song có thể dẫn đến bình hành. Từ đó ta có ngay cách giải
câu a)
a) AABC có P là trung điểm của cạnh AB (P là chân đường trung tuyến
CP)
54% 16:07
N là trung điểm của cạnh AC (N là chân đường trung tuyến BN)
= PN là đường trung bình của AABC = PN # BC (Định lí: Đường
trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
PN/CF
= PNFC là hình
cạnh ấy) mà CF = BC nên
NF / PC (giả thiết)
bình hành (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có các cạnh đối song song là
hình bình hành)
b) Chứng minh BNFD là hình bình hành
Từ giả thiết: "qua F kẻ đường thẳng song song với BN"
“Qua B kẻ đường thẳng song song với CP” ta có ngay cách chứng
minh tứ giác BNFD là hình bình hành.
Tứ giác BNFD có:NF / BD (cùng song song với PC)
BN / DF (giả thiết)
= BNFD là hình bình hành (Theo dấu hiệu 1)
c) Chứng minh tứ giác PNCD là hình thang
Dựa vào giả thiết: "AM là trung tuyến ứng với cạnh BC
"CP là trung tuyến ứng với cạnh AB"
= P và M lần lượt là trung điểm của cạnh AB và cạnh BC của AABC
nên PM là đường trung bình của AABC (Theo định nghĩa đường
trung bình của tam giác) = PM # AC hay PD / NC = PNCD là
hình thang (Theo định nghĩa: Tứ giác có hai cạnh đối song song là
hình thang).
e) Điều kiện của AABC đế PNCD là hình thang cân
Hình thang PNCD là hình thang cân – PC = DN = CP = AM (vì
ND = AM)
→ AABC cân tại A (vì tam giác cân có trung tuyến ứng với hai cạnh
bên bằng nhau).
d) Chứng minh AM = DN
Muốn chứng minh AM = DN ta phải chứng minh ANDM là hình bình
hành. Muốn chứng minh được ANDM là hình bình hành ta chứng
minh AN / MD và AN = MD
MD / AC (vì PD và NC là hai cạnh đáy của hình thang PNCD)
Tứ giác PNPC là hình bình hành (chứng minh trên)
= PC / NF và PC = NF
Tử giác BNFD là hình bình hành (chứng minh trên)
= BD/NF và BD = NF
= PC / BD và PC = BD (cùng song song và bàng NF) = BPCD là
hình bình hành
(Theo dấu hiệu 3) = Đường chéo BC và đường chéo PD giao nhau tại
trung điểm M của mỗi đường = MP = MD. Mà PM # AC và
AC
PM = = AN (vì PM là đường trung bình của AABC) = MD // AN và
2
MD = AN (cùng bằng PM' = ANDM là hình bình hành (Theo dấu
hiệu 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình
, hành) = AM = ND (Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau)