Rút gọn biểu thức \( A = \frac{x+1}{3x^2+3x} + \frac{2x-1}{3x^2-6x} - \frac{1}{2x} \)
----- Nội dung ảnh -----
**PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VẠN NINH**
**KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2024 - 2025**
**ĐỀ THI CHÍNH THỨC**
**Môn thi: TOÁN**
**Ngày thi: 19/9/2024**
**Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)**
**Câu 1 (4,00 điểm):**
a) Rút gọn biểu thức \( A = \frac{x+1}{3x^2+3x} + \frac{2x-1}{3x^2-6x} - \frac{1}{2x} \) với \( x \neq 0, x \neq \frac{1}{2}, x \neq -1 \).
b) Cho hai số dương \( a \) và \( b \) thoả điều kiện \( a^2-3ab-2ab^2-8b=0 \). Tính giá trị của biểu thức \( B = \frac{a-b}{a+b} \).
**Câu 2 (4,00 điểm):**
a) Tìm tọa độ các giá trị của tham số \( m \) để hai đường thẳng \( d': y = 2x + (m - 2) \) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.
b) Cho da và \( d \) là hai số nguyên dương với \( a = 1 \) và \( x = 3 \) để \( x \neq 2 \) và \( x \neq 1 \). Chứng minh rằng \( b \) là số nguyên chẵn.
**Câu 3 (2,00 điểm):** Giải phương trình \( \frac{1}{(x-1)(x+3)} = \frac{1}{48} \).
**Câu 4 (5,00 điểm):** Cho hình vuông \( ABCD \). Trên cạnh \( AB \), \( BC \) lấy lần lượt các điểm \( E, F \) sao cho \( AE = BF \). Gọi \( M \) là giao điểm của \( CE \) và \( DF \).
a) Chứng minh \( CE \) vuông góc với \( DF \) và \( \frac{1}{CD^2} + \frac{1}{CF^2} = \frac{1}{CM^2} \).
b) Gọi \( P \) là điểm bên trong hình vuông \( ABCD \) sao cho \( AB = AP \) và góc \( CPD = 90^\circ \). Tính số đồ của góc \( DCP \).
**Câu 5 (5,00 điểm):**
a) Trên bảng có 1000 số tự nhiên 1, 2, 3, ..., 1000. Ta thực hiện một trò chơi như sau: mỗi bước, ta chọn hai số bất kỳ rồi xóa chúng đi và viết một số mới lên bảng đúng bằng tổng hai số vừa được xóa. Sau mỗi bước hữu hạn, trên bảng chỉ còn lại một số. Hỏi đó là số nào?
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q = a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 4a + 8 \).
c) Tính tất cả các số nguyên dương \( a, b, c \) sao cho \( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \) và \( a+b+c \) là số nguyên tố.
**HẾT**
**PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VẠN NINH**
**KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2024 - 2025**
**ĐỀ THI CHÍNH THỨC**
**Môn thi: TOÁN**
**Ngày thi: 19/9/2024**
**Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)**
**Câu 1 (4,00 điểm):**
a) Rút gọn biểu thức \( A = \frac{x+1}{3x^2+3x} + \frac{2x-1}{3x^2-6x} - \frac{1}{2x} \) với \( x \neq 0, x \neq \frac{1}{2}, x \neq -1 \).
b) Cho hai số dương \( a \) và \( b \) thoả điều kiện \( a^2-3ab-2ab^2-8b=0 \). Tính giá trị của biểu thức \( B = \frac{a-b}{a+b} \).
**Câu 2 (4,00 điểm):**
a) Tìm tọa độ các giá trị của tham số \( m \) để hai đường thẳng \( d': y = 2x + (m - 2) \) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.
b) Cho da và \( d \) là hai số nguyên dương với \( a = 1 \) và \( x = 3 \) để \( x \neq 2 \) và \( x \neq 1 \). Chứng minh rằng \( b \) là số nguyên chẵn.
**Câu 3 (2,00 điểm):** Giải phương trình \( \frac{1}{(x-1)(x+3)} = \frac{1}{48} \).
**Câu 4 (5,00 điểm):** Cho hình vuông \( ABCD \). Trên cạnh \( AB \), \( BC \) lấy lần lượt các điểm \( E, F \) sao cho \( AE = BF \). Gọi \( M \) là giao điểm của \( CE \) và \( DF \).
a) Chứng minh \( CE \) vuông góc với \( DF \) và \( \frac{1}{CD^2} + \frac{1}{CF^2} = \frac{1}{CM^2} \).
b) Gọi \( P \) là điểm bên trong hình vuông \( ABCD \) sao cho \( AB = AP \) và góc \( CPD = 90^\circ \). Tính số đồ của góc \( DCP \).
**Câu 5 (5,00 điểm):**
a) Trên bảng có 1000 số tự nhiên 1, 2, 3, ..., 1000. Ta thực hiện một trò chơi như sau: mỗi bước, ta chọn hai số bất kỳ rồi xóa chúng đi và viết một số mới lên bảng đúng bằng tổng hai số vừa được xóa. Sau mỗi bước hữu hạn, trên bảng chỉ còn lại một số. Hỏi đó là số nào?
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q = a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 4a + 8 \).
c) Tính tất cả các số nguyên dương \( a, b, c \) sao cho \( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \) và \( a+b+c \) là số nguyên tố.
**HẾT**