Tính giá trị biểu thức? Chứng minh đẳng thức
----- Nội dung ảnh -----
Phần II. Tự luận (8,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức \( A = \sqrt{\frac{2025 + \sqrt{2024}}{2025 - \sqrt{2024}}} \).
b) Chứng minh đẳng thức \( \frac{\sqrt{x - 1}}{(x + \sqrt{x})} + \frac{\sqrt{3 + \sqrt{x} + 5}}{\sqrt{x} + 2} \).
Bài 2. (1,0 điểm).
Theo công bố ngày 11/10/2024 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong 5 năm (từ năm 2020 đến năm 2024) Việt Nam có 173 lượt thí sinh dự thi Olympic khu vực và quốc tế, đoạt được 159 huy chương các loại. Số lượng từng loại huy chương trong 5 năm được thống kê như sau:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Loại huy chương} & \text{Số lượng} \\
\hline
Huy chương vàng & 9; 12; 13; 8; 12 \\
Huy chương bạc & 8; 13; 12; 12; 15 \\
Huy chương đồng & 5; 10; 8; 12; 10 \\
\hline
\end{array}
\]
(Trích nguồn https://vnexpress.net)
a) Hãy lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a).
Bài 3. (1,5 điểm)
1. Cho hàm số \( y = -\frac{1}{2}x^2 \).
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ \( x = -\sqrt{2} \).
2. Biết phương trình \( x^2 - 4x - 20 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \( B = (x_1 - x_2)^2 + (x_1 + 2) \).
Bài 4. (1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong kỳ thi khảo sát chất lượng giữa học kỳ II môn Toán lớp 9 năm học 2024 - 2025, một phòng thi của trường A có 24 thí sinh dự thi. Sau khi hết thời gian làm bài, tất cả thí sinh đều đã nộp bài, gặp thị coi thi được tổng số giấy thi thu về là 57 tờ. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh đã nộp 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh đã nộp 3 tờ giấy thi? Biết rằng tất cả sinh này nộp trong phòng thi chỉ đều nộp 2 giấy thi hoặc 3 tờ giấy thi.
Bài 5. (1,0 điểm) Một chiếc cốc đựng chứa nước. Khối nước trong cốc có một hình trụ, bán kính đáy bằng 6cm. Bạn Nam lắp một viên bi vào trong cốc và quan sát thấy viên bi bị ngập trong nước không kể hình cốc (như hình minh họa). Bạn Nam đó được nước trong cốc đẩy lên một.
a) Tính thể tích của phân nước đã đẩy lên trong cốc.
b) Giả sử rằng cốc ABC có đáy góc nhọn tiếp giáp đường tròn \( O \), biết \( A < C \). Qua các điểm \( B \) và \( C \) thì tiếp tuyến qua đường tròn \( O \) cắt tiếp tuyến tại \( M \). Gọi \( H \) giao điểm của \( BC \) và \( OM \).
a) Chứng minh điểm \( B, C, M \) cùng thuộc mặt phẳng đường tròn \( \Omega \) với đường tròn \( O \). Chứng minh: \( ODH = OMD \) và \( DB.CD.M = AB.AC.M \).
----------HẾT----------
Trang 2/2
Phần II. Tự luận (8,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức \( A = \sqrt{\frac{2025 + \sqrt{2024}}{2025 - \sqrt{2024}}} \).
b) Chứng minh đẳng thức \( \frac{\sqrt{x - 1}}{(x + \sqrt{x})} + \frac{\sqrt{3 + \sqrt{x} + 5}}{\sqrt{x} + 2} \).
Bài 2. (1,0 điểm).
Theo công bố ngày 11/10/2024 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong 5 năm (từ năm 2020 đến năm 2024) Việt Nam có 173 lượt thí sinh dự thi Olympic khu vực và quốc tế, đoạt được 159 huy chương các loại. Số lượng từng loại huy chương trong 5 năm được thống kê như sau:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Loại huy chương} & \text{Số lượng} \\
\hline
Huy chương vàng & 9; 12; 13; 8; 12 \\
Huy chương bạc & 8; 13; 12; 12; 15 \\
Huy chương đồng & 5; 10; 8; 12; 10 \\
\hline
\end{array}
\]
(Trích nguồn https://vnexpress.net)
a) Hãy lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a).
Bài 3. (1,5 điểm)
1. Cho hàm số \( y = -\frac{1}{2}x^2 \).
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ \( x = -\sqrt{2} \).
2. Biết phương trình \( x^2 - 4x - 20 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \( B = (x_1 - x_2)^2 + (x_1 + 2) \).
Bài 4. (1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong kỳ thi khảo sát chất lượng giữa học kỳ II môn Toán lớp 9 năm học 2024 - 2025, một phòng thi của trường A có 24 thí sinh dự thi. Sau khi hết thời gian làm bài, tất cả thí sinh đều đã nộp bài, gặp thị coi thi được tổng số giấy thi thu về là 57 tờ. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh đã nộp 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh đã nộp 3 tờ giấy thi? Biết rằng tất cả sinh này nộp trong phòng thi chỉ đều nộp 2 giấy thi hoặc 3 tờ giấy thi.
Bài 5. (1,0 điểm) Một chiếc cốc đựng chứa nước. Khối nước trong cốc có một hình trụ, bán kính đáy bằng 6cm. Bạn Nam lắp một viên bi vào trong cốc và quan sát thấy viên bi bị ngập trong nước không kể hình cốc (như hình minh họa). Bạn Nam đó được nước trong cốc đẩy lên một.
a) Tính thể tích của phân nước đã đẩy lên trong cốc.
b) Giả sử rằng cốc ABC có đáy góc nhọn tiếp giáp đường tròn \( O \), biết \( A < C \). Qua các điểm \( B \) và \( C \) thì tiếp tuyến qua đường tròn \( O \) cắt tiếp tuyến tại \( M \). Gọi \( H \) giao điểm của \( BC \) và \( OM \).
a) Chứng minh điểm \( B, C, M \) cùng thuộc mặt phẳng đường tròn \( \Omega \) với đường tròn \( O \). Chứng minh: \( ODH = OMD \) và \( DB.CD.M = AB.AC.M \).
----------HẾT----------
Trang 2/2