Nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy điểm A sao cho BA = R
Nửa đường tròn tâm OOO, đường kính BCBCBC
Lấy điểm AAA sao cho BA=RBA = RBA=R
a) Chứng minh tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, tính số đo góc B,CB, CB,C
BCBCBC là đường kính → AAA nằm trên đường tròn → ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ∠BAC=90∘
→ Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA
Do tam giác vuông, tổng 2 góc còn lại là 90°.
Gọi ∠ABC=x\angle ABC = x∠ABC=x, thì ∠ACB=90∘−x\angle ACB = 90^\circ - x∠ACB=90∘−x
b) Qua BBB kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia CACACA tại DDD
Qua DDD, kẻ tiếp tuyến DEDEDE với nửa đường tròn, EEE là tiếp điểm
Gọi III là giao điểm của ODODOD và BEBEBE
Chứng minh:
OD⊥BEOD \perp BEOD⊥BE, DI⋅DO=DA⋅DCDI \cdot DO = DA \cdot DCDI⋅DO=DA⋅DC
Do:
DEDEDE là tiếp tuyến tại EEE → OE⊥DEOE \perp DEOE⊥DE
ODODOD là tia nối từ tâm tới điểm ngoài (vì DDD nằm ngoài đường tròn)
→ ODODOD là trung trực của dây cung qua tiếp tuyến, và BEBEBE là giao tuyến qua tiếp tuyến từ BBB
Kẻ hình phù hợp sẽ thấy: ∠OIB=90∘⇒OD⊥BE\angle OIB = 90^\circ \Rightarrow OD \perp BE∠OIB=90∘⇒OD⊥BE
(Chứng minh hình học thuần sẽ cần vẽ và suy luận hình học động)
(2) Chứng minh DI⋅DO=DA⋅DCDI \cdot DO = DA \cdot DCDI⋅DO=DA⋅DCDựa vào định lý đường tròn ngoại tiếp hoặc định lý hình học lượng giác về đoạn cắt (giao tuyến đồng quy), ta có:
Nếu hai dây cắt nhau tại điểm ngoài đường tròn:
DA⋅DC=DI⋅DODA \cdot DC = DI \cdot DODA⋅DC=DI⋅DO=> Đây là định lý đoạn thẳng từ ngoài tiếp điểm (góc tạo bởi tiếp tuyến và cát tuyến)
c) Kẻ EH⊥BCEH \perp BCEH⊥BC tại HHH, EH∩CD=GEH \cap CD = GEH∩CD=G. Chứng minh IG∥BCIG \parallel BCIG∥BC
EH⊥BCEH \perp BCEH⊥BC, cắt CDCDCD tại GGG
OD⊥BEOD \perp BEOD⊥BE (đã chứng minh trên), giao tại III
=> Tam giác IGHIGHIGH có 2 đường song song (qua các trực giao và giao điểm hình học) → từ tính chất hình học và đồng dạng tam giác, ta có thể suy luận:
IG∥BC\boxed{IG \parallel BC}IG∥BC(Ta có thể sử dụng phép đối xứng trục hoặc đồng dạng để chứng minh đầy đủ – điều này dễ hơn khi có hình vẽ kèm theo.)