Bài 42. (HSG Nga Sơn 2023). Thực hiện phép tính \( A = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} - \frac{1}{6} - \frac{4}{35} + \frac{1}{41} \). Bài 43. (HSG Hương Khê 2023). Tính giá trị biểu thức: \( B = \frac{1}{4.9} + \frac{1}{9.14} + \frac{1}{14.19} + \ldots + \frac{1}{44.49} \). Bài 44. (HSG Tiên Hải 2023). Cho \( M = 3 + \frac{3}{3.5} + \frac{3}{5.7} + \frac{3}{7.9} + \frac{3}{9.11} + \ldots + \frac{3}{53.55} \). Tính \( M \) và so sánh \( M \) với \( \frac{1}{2} \). Bài 45. (HSG Quận 9 - 2002 - 2003). Tính \( B = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{1}{9} - 1 \right) \left( -1 - 1 \right) \ldots \left( \frac{1}{121} - 1 \right) \). Bài 46. Tìm các số nguyên \( x, y \), biết: \( 2x - \frac{3}{2}y = \frac{1}{3} \). Bài 47. Chứng tỏ rằng: \( S = \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \frac{3}{5^4} + \ldots + \frac{99}{5^{100}} < \frac{1}{16} \). Bài 48. (HSG Đoan Hùng 2023). Cho \( S_n = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{n^2 - 1}{n^2} \) ( với \( n

----- Nội dung ảnh -----
Bài 42. (HSG Nga Sơn 2023). Thực hiện phép tính \( A = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} - \frac{1}{6} - \frac{4}{35} + \frac{1}{41} \).

Bài 43. (HSG Hương Khê 2023). Tính giá trị biểu thức: \( B = \frac{1}{4.9} + \frac{1}{9.14} + \frac{1}{14.19} + \ldots + \frac{1}{44.49} \).

Bài 44. (HSG Tiên Hải 2023). Cho \( M = 3 + \frac{3}{3.5} + \frac{3}{5.7} + \frac{3}{7.9} + \frac{3}{9.11} + \ldots + \frac{3}{53.55} \). Tính \( M \) và so sánh \( M \) với \( \frac{1}{2} \).

Bài 45. (HSG Quận 9 - 2002 - 2003). Tính \( B = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{1}{9} - 1 \right) \left( -1 - 1 \right) \ldots \left( \frac{1}{121} - 1 \right) \).

Bài 46. Tìm các số nguyên \( x, y \), biết: \( 2x - \frac{3}{2}y = \frac{1}{3} \).

Bài 47. Chứng tỏ rằng: \( S = \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \frac{3}{5^4} + \ldots + \frac{99}{5^{100}} < \frac{1}{16} \).

Bài 48. (HSG Đoan Hùng 2023). Cho \( S_n = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{n^2 - 1}{n^2} \) ( với \( n \in \mathbb{N} \) và \( n > 1 \)). Chứng minh rằng \( S_n \) không thể là một số nguyên.