Bài tập Toán học lớp 9
----- Nội dung ảnh -----
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)
Ngày thi: 09/06/2025
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I (2.0 điểm)
a) Giải bài của một trường Trung học cơ sở bạn đầu chỉ số học sinh khối 6, 7 và 8 định kỳ tham gia với số học sinh được chọn trong biểu đồ đề cập ở hình bên. Ngay trước khi giải bài diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nữ khối 6 đang kí bổ sung. Biết rằng số học sinh nam trong khối sẽ tăng số học sinh đang kí tham gia trước và sau khi khối 6 đang kì bổ sung là không thay đổi. Tìm số học sinh nữ khối 9 đang kí dự thi.
b) a, b, c là các số thực khác 0, theo màn a + b + c = 0, Tính giá trị của
ab + bc + ca = 0.
Câu II (2.0 điểm)
1) Chứng minh rằng (a - b)(b - c)(c - a) = 16.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + b² + c².
3) Tìm tất cả các số hữu tỉ dương m và n sao cho biểu thức m+n+mm: 1/m + 1/n = m/n đều nhận giá trị là số nguyên.
Câu III (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba giác nhọn (AB AC), nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AD, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm T. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O).
1) Chứng minh rằng B và C vuông góc với đường thẳng AM tại điểm E, cắt đường thẳng AD tại điểm G.
2) Đường thẳng MD cắt đường tròn ngoài tại điểm F, đường thẳng MD cắt đường tròn ngoài tại điểm E.
Chứng minh rằng AK và BX song song với đường thẳng BC.
3) Chứng minh đường thẳng MX, TD và AN đồng quy.
Câu IV (1.0 điểm)
Trường trung học cơ sở A và B có điểm chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu biểu. Biết rằng trong buổi liên hoan này:
1) Tổng số học sinh của A lớn hơn số học sinh của B:
2) Số học sinh của A gấp 5 lần số học sinh của trường B;
3) Tổng số học sinh của 2 trường là 25 học sinh.
Hỏi liệu có thể có buổi liên hoan được không? Vì sao?
Tại sao số học sinh của trường A nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?
HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2025 - 2026
Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)
Ngày thi: 09/06/2025
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I (2.0 điểm)
a) Giải bài của một trường Trung học cơ sở bạn đầu chỉ số học sinh khối 6, 7 và 8 định kỳ tham gia với số học sinh được chọn trong biểu đồ đề cập ở hình bên. Ngay trước khi giải bài diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nữ khối 6 đang kí bổ sung. Biết rằng số học sinh nam trong khối sẽ tăng số học sinh đang kí tham gia trước và sau khi khối 6 đang kì bổ sung là không thay đổi. Tìm số học sinh nữ khối 9 đang kí dự thi.
b) a, b, c là các số thực khác 0, theo màn a + b + c = 0, Tính giá trị của
ab + bc + ca = 0.
Câu II (2.0 điểm)
1) Chứng minh rằng (a - b)(b - c)(c - a) = 16.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + b² + c².
3) Tìm tất cả các số hữu tỉ dương m và n sao cho biểu thức m+n+mm: 1/m + 1/n = m/n đều nhận giá trị là số nguyên.
Câu III (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba giác nhọn (AB AC), nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AD, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm T. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O).
1) Chứng minh rằng B và C vuông góc với đường thẳng AM tại điểm E, cắt đường thẳng AD tại điểm G.
2) Đường thẳng MD cắt đường tròn ngoài tại điểm F, đường thẳng MD cắt đường tròn ngoài tại điểm E.
Chứng minh rằng AK và BX song song với đường thẳng BC.
3) Chứng minh đường thẳng MX, TD và AN đồng quy.
Câu IV (1.0 điểm)
Trường trung học cơ sở A và B có điểm chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu biểu. Biết rằng trong buổi liên hoan này:
1) Tổng số học sinh của A lớn hơn số học sinh của B:
2) Số học sinh của A gấp 5 lần số học sinh của trường B;
3) Tổng số học sinh của 2 trường là 25 học sinh.
Hỏi liệu có thể có buổi liên hoan được không? Vì sao?
Tại sao số học sinh của trường A nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?
HẾT