Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác \( A_1B_1C_1 \) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \( A_2B_2C_2 \) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \( A_1B_1C_1 \), ..., tam giác \( A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1} \) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \( A_nB_nC_n \). Gọi \( P_1, P_2, P_3, \ldots, P_n \) và \( S_1, S_2, \ldots, S_n \) theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác \( A_1B_1C_1, A_2B_2C_2, \ldots, A_nB_nC_n \). a) Tính giới hạn của các dãy số \( (P_n) \) và \( (S_n) \). b) Tìm tổng \( P_1 + P_2 + \ldots + P_n + \ldots \) và \( S_1 + S_2 + \ldots + S_n + \ldots \)

----- Nội dung ảnh -----
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác \( A_1B_1C_1 \) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \( A_2B_2C_2 \) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \( A_1B_1C_1 \), ..., tam giác \( A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1} \) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \( A_nB_nC_n \). Gọi \( P_1, P_2, P_3, \ldots, P_n \) và \( S_1, S_2, \ldots, S_n \) theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác \( A_1B_1C_1, A_2B_2C_2, \ldots, A_nB_nC_n \).

a) Tính giới hạn của các dãy số \( (P_n) \) và \( (S_n) \).
b) Tìm tổng \( P_1 + P_2 + \ldots + P_n + \ldots \) và \( S_1 + S_2 + \ldots + S_n + \ldots \)