Thực hiện phép tính? Rút gọn biểu thức
----- Nội dung ảnh -----
**Bài 1. (1,25 điểm)**
a) Thực hiện phép tính \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}\)
b) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}\) với \(x \geq 0; x \neq 4\).
**Bài 2. (1,0 điểm)**
a) Giải phương trình \(\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{2x}{x^2 - 4}\)
b) Giải bất phương trình \(2(x + 3) - (x + 1)^2 \leq 4x - 1\)
**Bài 3. (1,0 điểm)**
Giải hệ phương trình
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 2(2 + xy) \\
x - 2y = -1
\end{cases}
\]
**Bài 4. (0,75 điểm)**
Một viên gạch hình vuông có cạnh 30cm được thiết kê như hình vẽ. Người ta dùng một vòng tròn có tâm là điểm chính giữa viên gạch và bán kính 30cm, sau đó dựng thêm một vòng tròn như vậy nhưng có tâm là điểm đối diện với điểm trên. Hãy tính diện tích phần giao nhau của hai vòng tròn đó (phần tô đậm với độ chính xác 0,005cm²).
**Bài 5. (1,75 điểm)**
Cho \((O)\) đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc \((O)\) với \(C\) không trùng \(A\) và \(B\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Vẽ tiếp tuyến tại \(C\) cắt \(OI\) tại \(D\).
a) Chứng minh \(DA\) là tiếp tuyến của \((O)\).
b) Vẽ \(CH \perp AB, BK \perp CD\) (H thuộc \(AB, K\) thuộc \(CD\)). Chứng minh \(CK^2 = HA.HB\).
**Bài 6. (1,0 điểm)**
a) Giải phương trình \(x^2 - 2x + 3 = (x + 1) \left(x^2 - 3x + 3\right)\)
b) Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thoả mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng:
\[
\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab} \geq 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{ca}
\]
----------------------------
**Hết**
**Bài 1. (1,25 điểm)**
a) Thực hiện phép tính \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}\)
b) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}\) với \(x \geq 0; x \neq 4\).
**Bài 2. (1,0 điểm)**
a) Giải phương trình \(\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{2x}{x^2 - 4}\)
b) Giải bất phương trình \(2(x + 3) - (x + 1)^2 \leq 4x - 1\)
**Bài 3. (1,0 điểm)**
Giải hệ phương trình
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 2(2 + xy) \\
x - 2y = -1
\end{cases}
\]
**Bài 4. (0,75 điểm)**
Một viên gạch hình vuông có cạnh 30cm được thiết kê như hình vẽ. Người ta dùng một vòng tròn có tâm là điểm chính giữa viên gạch và bán kính 30cm, sau đó dựng thêm một vòng tròn như vậy nhưng có tâm là điểm đối diện với điểm trên. Hãy tính diện tích phần giao nhau của hai vòng tròn đó (phần tô đậm với độ chính xác 0,005cm²).
**Bài 5. (1,75 điểm)**
Cho \((O)\) đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc \((O)\) với \(C\) không trùng \(A\) và \(B\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Vẽ tiếp tuyến tại \(C\) cắt \(OI\) tại \(D\).
a) Chứng minh \(DA\) là tiếp tuyến của \((O)\).
b) Vẽ \(CH \perp AB, BK \perp CD\) (H thuộc \(AB, K\) thuộc \(CD\)). Chứng minh \(CK^2 = HA.HB\).
**Bài 6. (1,0 điểm)**
a) Giải phương trình \(x^2 - 2x + 3 = (x + 1) \left(x^2 - 3x + 3\right)\)
b) Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thoả mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng:
\[
\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab} \geq 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{ca}
\]
----------------------------
**Hết**