Cho đa thức bậc bốn \[ P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}. \] Thực hiện các yêu cầu: a) Giả sử \( P(1) = 0 \) và \( P(-1) = 0 \). Viết \( P(x) \) dưới dạng tích hai đa thức bậc hai có hệ số thực (tìm \( p, q, r, s \in \mathbb{R} \) sao cho \( P(x) = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s) \). Viết mỗi liên hệ giữa \( a, b, c, d \) và \( p, q, r, s \). b) Tìm điều kiện trên \( a, b, c, d \) để \( x = 1 \) là nghiệm bội bậc \( \geq 2 \) của \( P \). c) Tìm điều kiện để \( P(x) \) có nghiệm thực đôi (hai nghiệm kép khác nhau). Viết dạng nhân tử trong trường hợp đó. d) Cho điều kiện \( P(x) \geq 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \). Viết điều kiện cần-đủ dưới dạng bất phương trình trên các tham số