Tìm đa thức M biết rằng: M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2
----- Nội dung ảnh -----
Câu 15. Tìm đa thức M biết rằng: \( M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2 \)
Tính giá trị của M khi \( x, y \) thỏa mãn \( (2x - 5)^{2012} + (3 + y)^{2014} \leq 0 \).
Câu 16. Cho hai đa thức: \( f(x) = (x - 1)(x - 3) \) và \( g(x) = x^2 - ax + b \)
Xác định hệ số \( a, b \) của đa thức \( g(x) \) biết rằng đa thức \( f(x) \) cũng là nghiệm của đa thức \( g(x) \).
Câu 17.
1. Tìm các số nguyên \( x, y \) biết: \( -2xy + y - 3 = 0 \).
2. Cho đa thức \( f(x) = x^{10} - 101x^8 - 101x^7 - ... - 101x + 101 \).
Câu 18.
1. Cho đa thức \( A(x) = x + x^2 + x^3 + ... + x^{99} + x^{100} \).
a) Chứng minh rằng \( x = -1 \) là nghiệm của \( A(x) \).
b) Tính giá trị biểu thức \( A(x) \) khi \( x = \frac{1}{2} \).
Câu 19.
a) Tìm giá trị của m đề đa thức \( g(x) = x^4 + mx^3 + mx^2 - 1 \) có nghiệm là -1.
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngược và sắp xếp, biến \( f(x) = (3x^2 - 12x + 8)^{2013} (x^3 - 2x^2 + 3x - 3)^{2014} \).
Câu 20. Cho đa thức \( Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) với \( a, b, c, d \in \mathbb{Z} \). Biết rằng hết thảy 3 số \( m \in \mathbb{Z} \) thoả mãn \( Q(m) = 0 \).
Câu 21.
a. Cho hàm số: \( y = f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{với } x < -1 \\ -x - 1 & \text{với } x \geq -1 \end{cases} \)
- Viết \( f(x) \) dưới dạng 1 biểu thức.
- Tìm \( x \) khi \( f(x) = 2 \).
b. Cho hai đa thức \( P(x) = x^2 + 2mx + m^2 \) và \( Q(x) = x^2 + (2m + 1)x + m^2 \).
Tìm m biết \( P(1) = Q(1) \).
Câu 22. Cho đa thức \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Chứng minh rằng nếu \( f \) nhận 1 và -1 là nghiệm thì \( a \) và \( c \) là đối nhau.
Câu 24. Cho đa thức \( P(x) = ax^2 + bx + c \) \( (a \in \mathbb{N}^*) \) thoả mãn \( P(9) - P(6) = 2019 \).
Chứng minh \( P(10) - P(7) \) là một số lẻ.
Câu 23. Cho đa thức: \( P(x) = ax^2 + bx + c \). Cho biết 9a - b - c = 3, Chứng minh rằng: Trọng bệ số \( P(-1) \), \( P(2) \) và \( P(2) \) có ít nhất 1 số âm, ít nhất 1 số không dương.
Câu 25. Xác định các hệ số a, b, c để đa thức \( P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x + b \) là bình phương của một đa thức.
Câu 15. Tìm đa thức M biết rằng: \( M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2 \)
Tính giá trị của M khi \( x, y \) thỏa mãn \( (2x - 5)^{2012} + (3 + y)^{2014} \leq 0 \).
Câu 16. Cho hai đa thức: \( f(x) = (x - 1)(x - 3) \) và \( g(x) = x^2 - ax + b \)
Xác định hệ số \( a, b \) của đa thức \( g(x) \) biết rằng đa thức \( f(x) \) cũng là nghiệm của đa thức \( g(x) \).
Câu 17.
1. Tìm các số nguyên \( x, y \) biết: \( -2xy + y - 3 = 0 \).
2. Cho đa thức \( f(x) = x^{10} - 101x^8 - 101x^7 - ... - 101x + 101 \).
Câu 18.
1. Cho đa thức \( A(x) = x + x^2 + x^3 + ... + x^{99} + x^{100} \).
a) Chứng minh rằng \( x = -1 \) là nghiệm của \( A(x) \).
b) Tính giá trị biểu thức \( A(x) \) khi \( x = \frac{1}{2} \).
Câu 19.
a) Tìm giá trị của m đề đa thức \( g(x) = x^4 + mx^3 + mx^2 - 1 \) có nghiệm là -1.
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngược và sắp xếp, biến \( f(x) = (3x^2 - 12x + 8)^{2013} (x^3 - 2x^2 + 3x - 3)^{2014} \).
Câu 20. Cho đa thức \( Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) với \( a, b, c, d \in \mathbb{Z} \). Biết rằng hết thảy 3 số \( m \in \mathbb{Z} \) thoả mãn \( Q(m) = 0 \).
Câu 21.
a. Cho hàm số: \( y = f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{với } x < -1 \\ -x - 1 & \text{với } x \geq -1 \end{cases} \)
- Viết \( f(x) \) dưới dạng 1 biểu thức.
- Tìm \( x \) khi \( f(x) = 2 \).
b. Cho hai đa thức \( P(x) = x^2 + 2mx + m^2 \) và \( Q(x) = x^2 + (2m + 1)x + m^2 \).
Tìm m biết \( P(1) = Q(1) \).
Câu 22. Cho đa thức \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Chứng minh rằng nếu \( f \) nhận 1 và -1 là nghiệm thì \( a \) và \( c \) là đối nhau.
Câu 24. Cho đa thức \( P(x) = ax^2 + bx + c \) \( (a \in \mathbb{N}^*) \) thoả mãn \( P(9) - P(6) = 2019 \).
Chứng minh \( P(10) - P(7) \) là một số lẻ.
Câu 23. Cho đa thức: \( P(x) = ax^2 + bx + c \). Cho biết 9a - b - c = 3, Chứng minh rằng: Trọng bệ số \( P(-1) \), \( P(2) \) và \( P(2) \) có ít nhất 1 số âm, ít nhất 1 số không dương.
Câu 25. Xác định các hệ số a, b, c để đa thức \( P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x + b \) là bình phương của một đa thức.