Cho nửa đường tròn \( (O) \) đường kính \( AB \). Trên nửa mặt phẳng bờ \( AB \) chưa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \( Bx \) với đường tròn \( (O) \). Điểm \( M \) di động trên tia \( Bx \) (M khác B), \( AM \) cắt nửa đường tròn \( (O) \) tại điểm \( N \) (N khác A). Kẻ \( OE \perp AN \) tại \( E \). a) Chứng minh các điểm \( E, O, B, M \) cùng thuộc đường tròn đường kính \( OM \). b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn \( (O) \) tại \( N \) cắt tia \( OE \) tại \( K \) và cắt \( MB \) tại \( D \). Chứng minh \( KA \) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \( (O) \). c) Chứng minh \( KA.DB \) không đối khi điểm \( M \) di động trên tia \( Bx \). d) Gọi \( H \) là giao điểm của \( AB \) và \( DK \), kẻ \( OF \perp AB \) (\( F \in DK \)). Chứng minh \( \frac{BD}{DF} + \frac{DF}{HF} = 1 \).
