Cho hàm số \( f(x) = \begin{cases} \sin x + 2 & \text{ khi } x \geq 0 \\ \frac{2 \cos^2 x}{x} & \text{ khi } x < 0 \end{cases} \) Giả sử \( F \) là nguyên hàm của \( f \) trên \( \mathbb{R} \) thoả mãn \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = \pi. \] Giá trị của \( F\left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2F\left( \frac{\pi}{6} \right) - F\left( \frac{\pi}{4} \right) \) bằng: A. \( \frac{1 + \sqrt{3} + 3\pi}{2} \). B. \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{13\pi}{12} \). C. \( \frac{13\pi + 6 - 6\sqrt{3}}{12} \). D. \( \frac{1}{2} \sqrt{3} + \frac{\pi}{12} \)